Explication De la thèse de Pacioli et Tartaglia
Deux camps jouent à la balle ; chaque manche est de 10 points et il
faut 60 points pour gagner le jeu ; la mise totale est de 10 ducats. Il
arrive que, pour quelque raison accidentelle, le jeu ne puisse s’achever. On
demande ce que touche de la mise totale chacun des deux camps, lorsque l’un a
50 points et l’autre 20 points.
(…)
Les deux camps peuvent faire en tout 110 points (à savoir quand il
manque une manche à chacun et que l’un gagne la dernière). Puis considérons
quelle partie de ces 110 points ont obtenu chacun des deux camps. Le premier en
a obtenu 5/11 et le second 2/11. Par conséquent, ils doivent retirer de la mise
totale des parties proportionnelles à ces nombres, dont la somme est égale à
7/11. On les calculera ainsi : 7/11 gagnent 10 ducats ; combien gagnent 5/11 et
2/11 ? On verra que le premier camp aura 7 ducats 1/7 et le second 2 ducats
6/7.
Dans ce texte, Pacioli énonce son idée sur le partage des
gains dans le cas où la partie s’arrête avant sa fin. Selon cet auteur, on doit
d’abord compter le nombre maximal de manches qui peuvent être jouées si on
termine le jeu. De cet ensemble de parties on détermine quel part de ces
manches ont été gagnées par le joueur 1 et le joueur 2. Puis le partage de tout
les gains se fait de manière proportionnelle au nombre de manches gagnées.
L’auteur prend l’exemple d’un jeu dont chaque manche gagnée donne dix points au
joueur qui a remporté une manche, et le premier qui a 60 points a gagné. Le
nombre total de manches qui peuvent être jouées dans une partie qui serait la
plus longue possible est 11. On suppose que 8 manches sont jouées et que le jeu
est arrêté : le joueur 1 en a gagné 5 et le joueur 2 a gagné 3 manches. On
en déduit que le joueur 1 a obtenu 5/11 des parties et le joueur 2 3/11. Ainsi
si la mise est de 20 pièces, on en déduit que 8/11 vaut 20 pièces. Donc de
manière proportionnelle on peut en déduire combien gagnera le joueur 1 qui a obtenu
5/8 des parties, c’est-à-dire 12.5 pièces, et le joueur 2 obtiendra 7.5 pièces
(qui a obtenu 3/8 des parties)
Cependant on peut émettre une critique quant à ce type de
partage. Par exemple dans le cas où le joueur 1 gagne 2 manches et le joueur 2
aucune et que la partie s’arrête. Le joueur 1 va alors remporter toute la mise
alors qu’il n’a gagné que 2 manches, ce qui n’est pas équitable car ici le
modèle de Pacioli ne prend pas du tout en compte les chances du joueur 2 qu’il
aurait de gagner si la partie venait à se poursuivre. C’est la limite de ce
raisonnement que reprend le mathématicien Tartaglia dans ce texte :
Sa règle [celle du texte 2] ne me paraît ni bonne, ni belle, parce que
s’il arrive qu’un parti ait 10 et l’autre rien, et qu’on procédât selon sa
règle, le premier devrait tirer le tout et le second rien ; ce serait tout à
fait déraisonnable que, pour 10, il doive tirer le tout.
Il faut voir en premier lieu quelle partie a chacun de tout le jeu ;
s’il arrive que l’un ait 10, et l’autre 0, celui qui a 10 aura donc un sixième
de tout le jeu ; et je dis par conséquent que dans ce cas, il devra avoir la
sixième partie du nombre de ducats misé par chacun ; ainsi, s’ils mettent
chacun 22 ducats, il devra avoir la sixième partie des dits ducats, ce qui fera
3 ducats 2/3 qui joints à ses propres 22 ducats feront 25 ducats 2/3, et
l’autre camp devra tirer le reste, qui sera 18 ducats 1/3.
Ici Tartaglia propose une autre méthode de partage : on
reprend le jeu où une manche gagnée donne 10 points et il faut 60 points pour
gagner. Selon Tartaglia, si le joueur 1 a 30 points et le joueur 2 a 10 points
alors le joueur 1 va gagner la moitié de la mise (car il a la moitié des points
de ceux qu’il devrait avoir pour gagner) et le joueur 2 aura 1/6 de la mise.
Puis le reste de la mise sera alors partagé de manière équitable. Tartaglia
effectue donc d’abord un partage des gains proportionnels au nombre de parties
gagnées par chaque joueur par rapport au nombre de parties qu’ils devraient
avoir pour gagner le jeu. Puis le reste de la mise est partagé équitablement
entre les deux joueurs.
